【视频】排名、投票，有靠谱的方法吗？ | 夏志宏
夏志宏，数学家、天文学家，美国西北大学终身Pancoe讲席教授、北京大学第一批“长江学者”特聘教授、南方科技大学数学系创系系主任、讲座教授。
研究方向为动力系统和天体力学等。26岁时，在博士论文中解决了早在1897年提出悬而未决的Paul Painleve猜想。1989年荣获斯隆研究者奖，1993年荣获美国总统青年研究者奖，1993年荣获美国数学学会布拉门塞尔纯数学奖，1995年成为马里兰州大学应用数学Monroe Martin奖得主。在动力系统领域做出了许多重要贡献，成为国际动力系统和天体力学领域的领袖人物之一。
视频
文字版
今天非常高兴有这个机会做这个讲座，我是数学家，有些时候有人把我也说成是天文学家，但是我今天讲的跟数学、天文关系都不是那么大，今天讲的应该说是经济学的一个范畴，是选举理论，大家可能要问为什么我会讲经济学的东西。我在这上面没有什么研究，只是发现很有意思。
我为什么会接触到经济学？是我的博士导师，他是数学家，但是也是经济学家，他是美国科学院的院士，但是他是经济学院士，所以你待会儿可以看到我讲的很多东西跟我导师做的东西有关系，这个也是一个原因，为什么我对这个比较感兴趣。
我前段时间曾经写了一篇，在知识分子上我的专栏里面写过一篇文章，关于大学排名，那个时候为什么写这个文章呢？发现国内无论是学生还是家长，过分的强调大学排名，这个大学排名本身是没有多少意义的，我就想说明这个事。当时很快的时间写了那篇文章，结果发现影响还是挺大的，第一天它的阅读量就超过了十万，然后我也收到不少的信，就是关于大学排名的。
今天在这里有一个机会，稍微可以多讲一些经济学里面叫选举理论，我讲的东西它的背后有很多深奥的东西，但是本身我讲的东西都很简单，大家一看就可以清楚，所以不要担心上面有什么深奥的数学问题。
第一个，我先从选举开始，以后再讲排名，其实选举跟排名都是同一个范畴里面的，都是经济学里面的社会选择问题，在经济学里面有很多这方面的研究，也有很多经济学的诺贝尔奖是给了这个方向，待会儿我会讲到。
第一个我想讲的，我们是不是该相信选举。这个是美国现在的总统特朗普跟希拉里当初竞选的时候总统辩论时候的图片。现在我们知道特朗普当了总统，其实他得的选票比希拉里低了很多，低了至少两百万票，但是他还是当选了总统，主要的原因是选举制度问题，美国的选举制度不是看多少人投你的票，而是看选举团有多少选举人投票。这个说明了一个问题，谁当上总统并不是代表了真正的民意，从这个角度来看。
我先举个例子，大家比较熟悉的。台湾开始大选，第一次大选，大选的时候有三个侯选人，一个是连战，第二个是陈水扁，第三个是宋楚瑜，本来这两个是国民党的，这个是民进党的，当初国民党里面两个人都想竞选总统，最后闹到不可开交以后，国民党分成两个党，分成国民党和新党，连战和宋楚瑜原来是国民党，所以两个分开，分开以后，以至于民众投票的票数，陈水扁得了39.3%，连战23.1%，宋楚瑜36.8%。最后陈水扁当上了台湾的总统，从整个选举来看，台湾写宪法的时候选举方法抄的是美国的，得票最多的人当选，并不管你得多少票，只要你是最多的就当选总统。
但是假如是连战跟陈水扁，就这两个人的话，肯定是连战的票要多得多，或者宋楚瑜跟陈水扁二二对决的话，宋楚瑜的票也会多得多，因为这两个人是国民党当初分开的，所以他们基本上把国民党的票给分了，所以基本的票数来讲的话，陈水扁至多能达到40%左右，另外两个人的票是60%，也就是当初国民党可以拿到60%的票，民进党只能拿到差不多40%的票。但是因为这个选举制度的问题，使得最后是陈水扁，三个人里面最不受欢迎的陈水扁当选总统。所以从这个里面可以看，谁当上总统并不一定是谁最受欢迎，而是因为他的选举制度的问题，你用什么样的方式进行选举。
再举个例子，在2000年美国大选，我们现在都知道是小布什当上了总统，当初跟他竞选的是民主党的Gore，Gore得票的整个人数是48.4%票，小布什得的是47.9%票。美国的选举制度不是看你得票多少，而是看你得多少个州。
大部分州是这样的，你得了这个州的大部分票，这个州的票全部给你，这个州选举人的票全部给你。那么他们选举人的票得了多少呢？Gore得了266票，小布什得了271票，尽管他这个271票是超过了Gore，但是他得271票到最后是因为美国的佛罗里达州，这个州到最后很长时间有争议，最后重新数票，数票以后发现小布什比Gore在这个州只多了500票左右，这500票还是有争议的。
这个州当初有一个人参选，参选的第三个人是Ralph·Nader，Nader在这个州得了97000张票，而97000张票基本上从民主党那里拿来的，就是Nader当初的主要的票源是民主党的票。
所以从这个角度来讲，他假如不参选的话，佛罗里达所有的票就会全部给Gore，这样的话Gore的票远远超过了小布什的票，所以这也是一个非常不幸的例子，小布什最后当上了总统。我这里举了两个例子，都是比较不幸的，就是两个比较差的人当上了总统。
历史上也有好的人因为选举的原因当上了总统，这个是美国1860年大选，1860年大选是哪几个人呢？大家都知道的林肯，林肯是美国历史上最伟大的总统，因为他维持了美国的统一，他当了总统以后发生了南北战争。当初北方都希望林肯当上总统，南方都希望其他人当上总统，最有名的候选人是道格拉斯，现在历史上最著名的总统辩论是林肯跟道格拉斯辩论，到现在这个辩论比赛都有林肯、道格拉斯比赛，就是从这个总统辩论来的，一个是林肯，另外一个是道格拉斯。
林肯当初整个南方都反对他当总统，他根本就没到南方去竞选，所以他南方所有的票全部丢了，不仅南方，还有其他地方他的票基本上拿不到。但是很幸运的是什么呢？反对林肯的人有三个候选人，这三个候选人基本上把票给分了，所以最后1860年美国大选是林肯当上总统。林肯当上总统以后南方宣布独立，然后美国发生内战，战后又统一。
所以整个选举，到最后影响了历史，就是人类的历史很多时候就是因为一个简单的选举方法的不同，影响了整个人类历史的发展，我们近代有很多很多这种例子。这个算是一个正面的例子，因为林肯毕竟代表了正面的力量，要废除奴隶制。
在体育比赛里面，最近大家比较关注足球，最后就有一个足球的例子，我先举一个其他的例子。这个体育比赛很多时候它的名次，尤其在花样滑冰的时候，它的名次不是单单由得分来决定谁是冠军、亚军，而是在滑冰里面除了得分以外还有名次，它是一个非常复杂的公式，这个公式有时候就会发生很有趣的现象。
在1995年世锦赛滑冰的时候，陈露是中国的，在中国的陈露之前，几个人滑了以后，有一个叫Michelle Kwan，她是美国华人，在她滑之前，他们三个人是陈露（第一名），第二名是俄国人，第三名是欧洲的冠军，这三个人在Kwan没有滑之前，她们三个人是陈露第一，Kobek第二，Bonaly第三。
结果Michelle Kwan，Michelle Kwan的实力当初不如其他三个人，所以她基本上不会拿到奖牌，结果她滑了一下以后，因为她的加入，使得最后这三个人，第二名和第三名两个名次就换了一下。比较荒唐的在什么地方呢？她们三个，一二三名已经都滑好了，而且名次都定好了，到最后第四个人，跟她们没有关系的，她滑了以后改变了以前的名次。这个算是一个投票或者选举的方法，所带来的一些比较自相矛盾的问题，本来她跟她们都没有关系，她滑好以后结果影响其他三个人的排名。待会儿还会讲到这样一些例子。
结论是什么呢？有时候选举的方式决定了选举的结果，而不是所谓的人民的意愿。有时候经常会发生的，你是什么样的选举方式，你就有什么样的结果，换一个方式就换一个结果，这个在历史上很多很多时候都发生过。
所以带来一个有趣的问题，为什么美国是两大党，民主党跟共和党，其他的党都很小。而为什么欧洲，比如说法国还有其他国家，有很多很多的小党，大家可能认为这是文化习惯或者传统来决定的，其实跟文化没有关系。其实就是因为它的宪法里，它的选举制度决定的，跟文化没有关系。
举个例子，为什么美国不可能有小党做大，只可能有两大党？其实原因很简单，在你投票的时候，我假如投票给一个小党派，美国现在有民主党、共和党，我假如投票给一个小党派，那我这一票就浪费了，因为这个小党派不可能出线，他出不去的话我这一票就等于浪费，所以绝大部分人投票肯定投两大党，不然你的票得浪费。
欧洲为什么会有很多很多小党派呢？因为你第一轮投票的时候无所谓，你投了小党派表示你的意见，你表示你的意愿，然后以后你还有机会，这个小党派哪怕得票不够高的话，他下次你还有机会再去投票，所以选民不会浪费他这张票。这是为什么各个国家的党派的多少，并不是因为这个国家的文化所决定的，而是选举制度所决定的。所以很多国家政治体制不一样，带来各个国家的党派不一样的。比如中国就一个党，也是因为选举制度决定的，因为选举提名是执政党共产党提名的，所以当然就是一个党。其他各个国家，基本上党派的形成都是由选举制度来决定的。
有多少种选举方法呢？我来给大家讲一下，一般正常的选举方法，我这里列了几个选举方法，一个选举方法是投票投一个人。很多时候大家发现我投一个人可能不好，为什么呢？因为我可能第二选择的人也挺喜欢的，就是我怕我的票浪费，所以很多时候我们允许一个人投两票，这个是第二种选法。
选一个就是第一个人给1分，其他人给0分。我选两个人，就是第一个人、第二个人给他们1分，其他人给0分。当然也有一种方法，有十个人，第一个人给他9分，第二个人给他8分，第三个人给他7分，最后一个人给他0分，这也是一种选举方法，这个选举方法比较特殊，按照权重，从最高的，比方说十个人，最高的给他9分，最后一个人是0分。这是一个选举方法，就是Borda，Borda是法国19世纪的一个院士，他提出来的一个选举方法，叫Borda Count选举方法。
然后有其他的选举方法，加权方法，比如说经常在体育比赛里面，我们要算哪个国家的表现如何，一般我们把冠军算成7分，亚军算成3分，就是银牌，铜牌算成1分，这样表示金牌比其他的含金量要高得多，银牌给它少一些。就是说有各种各样的加权方法。假如说你非常重视第一名的话，把第一名的加权提高，第二名的加权放小一点，第三名的加权放得更小。所以我们也有这种方法，就是其他的加权方法，这都是比较常见的选举方法，在很多场合都有应用。
还有其他的，一种叫Condorcet，还有这几种方法，还有欧洲的选举方法叫做Run-off，Run-off的意思是再选，还有instant run-off，就是第一次选票的时候我们就把它设计好了，假如遇到第二次需要再投的话，我把第二次的信息也放进去。我们有各种各样的选举方法，这种选举方法是根据不同的情形之下我们选择的一些选举方法，有很多种。
我现在举个例子，对各种选举方法所带来的后果，这是最简单的一个例子，三个候选人的例子，曾经在我的文章里面提到这个例子。这个很简单，有两个人认为A比C好、C比B好，有三个人认为A比B好、B比C好，还有有三个人他们把它排成了BCA，还有四个他们是CBA。假如有12个人在一起，我们要决定到哪个餐馆去吃饭，有三种选择，ABC三个餐馆，一般的做法是大家来投票，具体到哪个餐馆去吃饭，或者我们12个人在一起想选一个头儿出来。
你会发现这个例子很有趣的一个现象是什么呢？假如我投票投一票，也就是说每个人只有一个选择。这个时候你会发现A有5个人，它是2跟3，所以加起来是5，B是3个人，C是4个人，所以投一票的情况下你会发现A胜。
假如我投两票，什么意思？就是每个人给两个选择，A只有5票，这3票是B可以拿到，然后这3个B也可以拿到，这4个B也可以拿到，所以你会发现B在选两票的时候非常厉害，所以他可以得10票，所以每个人要求投两票的时候是B胜出。
我们假如说另外一种方法，这个叫Borda Count，第一个给他2分，这个给1分，这个给0分，这个是2分、1分、0分。你这么去投票的话，第一名给2分，第二名给1分，第三名给0分，这个时候你投，你会发现C的得分最高。
另外一个办法，像欧洲的选举方法，先投一轮，投好以后第一名和第二名来决赛。先投一轮谁胜呢？你看先投一轮，A得5票，C得4票，也就是说B给淘汰，只剩下A跟C。你再看A跟C，有两个认为A比C好，到最后决赛以后，你会发现C是胜的，因为这3票是C胜，这4票也是C胜，所以C得7票，到最后第二轮投票A只能得5票，加起来以后你会发现结果是C胜。
所以你会发现很有意思的一个现象，这种情形之下大家要决定到哪个餐馆去吃饭，基本上是你选择哪个投票方法，就会得到什么样的结论。那大家要问什么样的投票方法，因为没有哪个投票方法大家都认同，基本上很难在这个例子里面去选择应该到哪个吃饭。
再看一个例子，这个例子是一样的，是四个候选人，这四个候选人我用不一样的投票方式，选一个是A胜，选两个是B胜，选三个是C胜，用Borda 选举法就是D胜，所以说又是一个例子。这个简单的例子也是，就是说你决定什么样的投票方式，基本上决定了投票的结果。所以投票的方式非常非常重要。
Saari是我的导师，博士生导师，他是做经济学的。他有一个数学定理，基本上你用任何不同的投票方式，我都可以给这个例子，比如说我有十种投票方式，我可以给你一个例子，十种投票方式可以给你十个不同的结果，也就是说你要有多少不同的方式，我就能给到这个例子里，让你每个方式所得到的结果是不一样的，这是一个数学定理。这个定理告诉你什么呢？你总归会找到这种情形，你的任何投票方式就会决定你的投票结果。
经济学家为什么要做这个？因为这是一个社会选择的问题，社会选择问题有很多应用，当然排名是一种方式，要把各个学校排名或者班级的学生排名，这都是一个选举方式。所以这个排名本身是一个投票，只不过投票的不再是自然人的投票，而是各种指标在投票，把这个投票加起来就会得到你的排名。
所以在选举里面一个应用是排名，第二个在招聘，招聘本身就是一个选人的过程，在选人的过程当然我们也要做一个排名。还有商业管理和决策，一般人来讲都是有很多选择，你做哪一种选择？你想做最好的选择，什么叫最好的选择？这个时候你就要有一定的指标、一定的方式，来把它排名，哪个是第一个选择、第二个选择、第三个选择，需要的也是投票理论。
还有你要找对象，比如说一个女孩，你想选一个女孩，这个时候她的排名或者你说投票，不是说你爸爸投一票、你的妈妈投一票、你的奶奶投一票，这当然也是一种投票方式，你决定选哪个对象。另外一个可能是你把这个女孩的各种素质，把它加起来，我来决定我把谁排在前面，把谁排在后面，你要选最好的。比方说你喜欢漂亮女孩的话，你打分，给这个漂亮女孩打这个分，然后你喜欢她的性格，那你把她的性格再打分，是不是钱很多，你也可以打分。所以整个你选取对象的方式也是一个排名，就是要各种各样的指标把它打分，这样你最后选择第一、第二、第三。
大家知道有时候做这种选择是非常非常艰难的一个选择，找对象的时候很多人会动摇不定，不知道选哪个好，所以这个也在选举的范畴，这个也是大家需要考虑的，这个在经济学里面是非常重要的一个理论的一部分，是决策方面的。
我们现在再讲另外一个方面的选举，我们现在所谓这么多的投票方式或者选择方法，我们假如已经给了你一个固定的选择方法，比方说从政策上很多时候已经规定了、定死了，我们已经定了规则，你只投一票，这个大家可能不再去想其他的问题了，我们就按照规则来投。
我们就来看固定的规则，看有什么情况会发生。举个例子，这是一个简单的例子，我是南方科技大学数学系主任，三年前跑到南科大创立了数学系，我们每年都要招很多人，现在每次招人一般是大家聚在一起，在系里面进行一个投票，看我们招谁，我们现在举这个简单的例子。
这个例子里面有四个人应聘想到南科大来工作，我们现在有30个老师，这30个老师每个人都有自己的想法，每个人都希望或者把自己的朋友招过来，或者希望再招自己领域的同事，让自己领域能够发展。这是一个很自然的现象，就是我招人的时候，每个人都有自己的想法，所以这30个老师对这些四个候选人整体的一个排序，就是我们每个人对这个候选人有一个排序，现在总共有四个候选人。
现在我有30个老师整体是这样一个情况，比如说这个例子有3个人他认为A最好，C第二，D第三，B第四，然后这4个人认为DCBA。我们当然系里面就要开始投票，看我们来决定选谁。这个是我们固定一个投票方式，我们不再去考虑其他的方式，就选一个，因为我们只招一个人。你投票以后发现什么呢？你会发现，投票谁得票最多呢？A总共有9票，这里九个人会投A，八个人投B，七个人会投C，这六个人会投D。也就是说我们投票的结果是A得票最多，B得票第二，C得票第三，D得票第四。投票好了以后，我作为系主任就开始打电话给A，然后说希望你到南科大来工作，问他你愿意不愿意来。
就是我要给A打电话之前，D告诉我他不想到南科大工作，这个时候一般作为系主任来讲，D反正得票最少，你告诉我来与不来，跟我没什么关系，我仍旧要要给A打电话，告诉A我们要录用你。但是你会发现这是个非常糟糕的决定，为什么呢？假如D退出，他不再参加我们这个招聘，你重新去数一下票，就会发现什么呢？D不在了，我们重新再去数一下，A得9票，B得10票，C得11票。
也就是说我们本来已经投票投好了，最差的那个D他告诉我他不来了，假如D不来了以后，你会发现突然一下子我们整个排序反了，这个时候我再去投票，发现C是最强的，而不是A。你会发现这个选举方法是不是很奇怪，而且很荒唐，用选举决定我们招聘谁的话，在这个情形之下，你会发现这基本上是很荒唐的一个过程。这个可能你觉得非常可笑，像这种事经常发生。
再举个例子，这个例子是有人退出比赛以后，原来的选票会发生变化。这个在实际应用中也会发生，我们中国原来希望办2000年的奥运会，结果没有办成，是2008年在北京办的奥运会。那个时候， 1993年全国实况在播奥运会场地的投票情况，所有的中国人那时候非常激动，认为2000年的奥运会会在中国举行，投票一直中国领先，奥委会采取的投票方式是每次把得票低的拿掉，一轮一轮的投。结果到最后倒数第二轮的时候，中国的票还是最高，是40票，悉尼是37票，还有一个国家是英国的曼彻斯特，曼彻斯特当初是第三名，这是倒数第二轮投票。
到最后一轮投票的时候，突然发现曼彻斯特退出以后，中国只多了3票，而悉尼一下子多了8票，结果2000年奥运会不是在中国，而是在悉尼举办的，八年以后奥运会才真正在北京召开。你会发现投票的方式真正的决定了投票结果。这不仅在数学理论上是这样的，在实际上你会发现也真正是这么发生的。所以整个那一年，我记得大家最后非常非常失望，因为经过一轮一轮的投票，中国一直领先，在开始的时候中国遥遥领先，到最后一轮中国没有能拿到，这个是非常非常遗憾的一个例子。
这个又是一个定理，还是我导师的一个定理。这个定理说什么呢？随便用什么选举方法，不管你用什么样的选举方法，它都有这样一个问题，任何一个序列的结果都有可能。也就是说第一轮投票的结果可能是ABCD，第二轮投票时C退出，第二轮投票结果可能是DAB，假如D退出，第三轮投票结果可能是BA。也就是说我随便怎么写想要的结果，都可以找到这种例子，让你的投票结果就是这样，而且不管你是用什么样的投票方式，你投一名也好，投两名也好，只要有一个人退出，整个秩序基本上随你怎么弄，都有可能发生。也就是说都有这种情形，从数学上讲都有这个情形，整个顺序完全是乱的，我们刚才说的事都有可能发生。
还有一种问题，我们刚才都是说的投票，美国的一种投法，欧洲的一种投票方法，欧洲的投票方式就是我们投了一次以后再投，比如决赛，本来三个人，以后我们把最低的一个人拿掉以后再投一次。现在选举上提到另外一个问题，叫选举的单调性，单调性什么意思呢？一个人是不是任何时候得票多都是好事？大家一般认为在投票理论里面，在选举里面，得票多都是好事。我这个时候给大家一个例子，得票多不一定是好事，在历史上发生过很多次，在澳大利亚的一次大选中，候选人得票多了以后结果很惨。另外是法国的一次选举，也是他得票多了反而对他有害，大家可能认为完全不可思议，我得票多为什么对我不好？
我现在给你看两个例子。这个例子，第一个情形，整个选举情况是这样，情形二整个选举是这样。我们现在看A，这两个情形的比较是什么呢？ABC，从A的角度来讲第一轮他得了20票，应该对他是非常好的情形，第二个情形他只得了14票，你们可能觉得这个对A是不利的，而第一种情形对A是非常有利的，有20个人首选是他。在美国的话肯定A非常高兴，一次投票他胜了。但是在法国，假如是同样的情形，你会发现什么呢？我们投了一次以后，第一轮是得票最高的两个人进入决赛，你会发现A得票很多他进决赛，C得票第二多，所以C进决赛，所以情形一是20跟13进决赛，所以A跟C再比一次，你再看看A跟C比，有20票是A比C好，但是其他的23票是C比A好，你会发现他的票多了对他不好。
而情形二A第一轮得票很少，他只是第二名，B第一轮得票很多，是第一名，你看到这两个例子，我就稍微把票换了一下，这个13跟这个13没有变化。A第一轮只是把6票给了他，就是这个20变成14，这个10变成16，A得票少了一些给了B，它的后果是什么呢？结果B在第一轮胜出，但是B跟A比的话，发现A比B强。这个例子告诉你，假如用法国的选举方式，这里有一个很重要的问题，这个问题是什么呢？你得票多反而对你有害，你的票是抢了另外一个人的，另外一个人你可以（在第二轮）战败他，你希望另外一个人能胜出，在第一轮胜出，这样你比他更厉害，这样你可以到最后获胜。
所以说这两个不同的情形，就告诉你欧洲的这种选举方法，它有它的问题，它的问题是什么呢？连简单的单调性都没有，所谓的单调性就是得票多可能对你不好，所以这显然在选举理论里面是非常糟糕的情况，就是你得票多反而对你不利。
再讲个例子，我现在讲很多选举上面会出现的非常荒唐的例子，在座的可能有不少是当官的，也许还有小朋友们将来当官，我现在告诉你们当官的一个非常好的策略，将来你们可以去用。
现在我们有十个候选人，这十个候选人里，我最喜欢的人是里面最糟糕的人，你看看这十个候选人谁最糟糕，H是最糟糕的人。我总共数学系里面30个人，30个人来投票招聘一个人，这里面有十个候选人，这十个候选人里面最糟糕的是H，但是H刚好是我的亲戚，我想把他招来，大家想想有没有什么办法？H在这里面是最糟糕的那个人，但是我还拼命的想把他招来，而且我要招来的方式让所有人认为我是公正的。但是我已经知道系里面大家都不太喜欢H，这个H无论用什么样的选举方式，可能他都是最糟的，你怎么去打分，他都是最糟的。我前一个晚上做好我的工作，开始想怎么把H放上去。这十个人有十份档案，十个人的档案我把它堆在一起，第二天我主持会议，然后随意的把十个人排在一起，然后我就把大家拿出来进行讨论。
讨论我好像非常不经意，但是我在这之前已经做了一个手脚，这个手脚是什么呢？讨论他们的顺序，用什么样的顺序来讨论这十个人。我放在最上面的第一个人是G，第二个人是F，然后我说我们十个人太多了，我们现在把他们一个一个拿出来讨论，我先把G拿出来讨论，一个人不好讨论，我把F也拿出来了，我问大家看这两个人谁好，G跟F谁好？G跟F，所有的人都认为是F更好，这个谁都没有意见，大家都没有意见，绝对是F好，所以把G淘汰，我说这个家伙太差了，30个人都同意我应该把G给扔掉了，所以我就把他的档案全部扔掉了，不再考虑，这个谁都没有意见。
拿出来F以后，我又把E拿出来了，大家所有的人认为谁好？E，那我就把F扔掉了，因为E比他们都强，所以我很自然的把F扔掉了，我直接扔到垃圾筒里面去了。然后我又把D拿出来了，谁好呢？是D强，30个人都一致认为D强，我们不应该再考虑E了。然后跟C比，又是30个人都认为C好，30个人全部认为C好，我又把D的档案全部扔到垃圾箱里去了。然后C跟B比，有多少个人认为B好？20个，在这个时候大家开始争论了，有20个人认为B好，还有10个人觉得C好，但是显然B的支持率更高。到现在为止我非常公平，而且非常公正，我询问了所有人的意见。这是B，B跟A比，你觉得谁好？A好，然后A跟H谁好？到最后剩下唯一的一个人是谁？H。哇，我非常成功地让最差的一个人当选了。其他人的材料我全部扔到垃圾筒里面去了，最后只剩下一个人，最差的人最后当选了。
所以这告诉大家一个秘密，一个小的trick（窍门），以后你们可以用。任何时候，一大堆人在比赛的时候你千万不要先出场，你等到最后一个再出场。你在讨论招聘或者你要用人的时候，不要把想用的人开始就拿出来，等到最后再把他拿出来，这个时候他才有可能胜出，你看其他人每个都比他强，但是每个都给淘汰了，所以这相当于一个淘汰赛。所以以后你整理顺序的时候，这是非常非常重要的，在你讨论决策的时候，把你喜欢的决策放到最后，这个时候它更有希望胜出。这是非常典型的一个决策的例子，这也是一种选举方法，这个选举方法大家还认为很公正，我刚才所做的一切大家都没有人认为有什么猫腻，但是大家到最后上当了，把最差的人给选上去了，到最后是H胜了。
我讲了这么半天，举了这么多的例子，有很多很多选举方法，我们是不是可以找到一个完美的选举方法？其实从18世纪开始人们就想找一个完美的选举方法，找了很长很长的时间，到最后出来一个美国人，这个美国人叫Kenneth Arrow，Kenneth Arrow去年才刚去世，Arrow从数学上证明了一个定理。
这个定理之前，我首先讲两个假设， 任何一个选举方法至少满足一些基本的条件，这些基本的条件是什么呢？第一个叫做Pareto条件，假如所有人的想法一致的话，你的选举结果必须跟大家想法一致，这个条件是个非常简单的条件。第二个条件，你假如认为A比B好的话，不应该受其他因素的影响。我们刚才出现了很多情形就是这样，A跟B比的话，C掺和进来以后受到了影响。一个好的选举方法，A跟B在做比较的时候，其他因素不应该参与，这是第二个条件。
在这两个条件之下，Arrow定理说的什么呢？唯一满足这两个条件的选举方法，一个公正的、没有内在矛盾的选举方法，不是没有，有一个，而且是唯一的选举方法，是独裁。独裁什么意思呢？由一个人说了算，我们把某一个人的选票拿出来作为我们的结果。为什么这个满足呢？这个显然满足第一个条件，因为所有人想法一样，这一个人的想法和大家一样；第二个，它没有任何内在矛盾，因为我觉得A比B好，B比C好的话，你把C拿掉，A跟C没关系，A还是比B好，把B拿掉，A还是比C好，所以一个人自身是没有自相矛盾的。也就是什么呢？除了独裁而外，没有任何一个选举方法是合理的、没有内在矛盾的。
这个事大家非常非常的失望，Arrow花了好多年，证明了一个数学定理，就是不存在没有自相矛盾的选举方法，除了独裁，其他没有一个方法。Arrow的这个定理使他得了诺贝尔经济学奖，在选举理论里，这是非常基础的一个定理。我刚才讲的是经济学奖，这个定理使Arrow拿了诺贝尔经济学奖，他的很多学生也在做这方面的研究。
所以我想说这里面的学问非常非常大，他拿了诺贝尔奖以后，他有六个学生都拿到了诺贝尔经济学奖。我想提出的是，在经济学里，社会选择是一个非常有意义的学科。这些人都有一个共同的特点，这些人本科都是读的数学，以后再去读的经济学，这是为什么他们能做出非常深刻的经济学的定理。Arrow本身也是本科读的数学，我认识的其他几个拿诺贝尔奖的都是本科读的数学。
我们显然不喜欢数学上最完美的选举方法，也就是独裁。我想大家可能都有共识，就是所有的东西不能一个人说了算。你可能要问了，有没有哪个方法比其他方法更好一些？这个其实有一些定论，有些方法比其他方法更好一些，有些方法比较糟糕。最好的方法数学上可以证明，是BORDA COUNT，就是加权的方法。假如选五个人，最高的人给4分，第二高的给3分，（依次给）2分、1分、0分，就是给他打分，从上到下，（数学上）可以证明这是最佳的选举方法。因为它充分考虑到选举的每个人之间的排序，而且给相差一分的这种排序方法是最合理的。为什么这么说？什么方法说这个最合理呢？是要从概率上，用这种方法进行排序的话，它发生问题的概率最小。
举个简单的例子，为什么这个情况下发生问题的概率最小，在选举理论里面有一个简单的例子叫Condorcet Cycle，一个死循环，就像打乒乓球一样，A打的过B，B打的过C，C又打的过A，这种死循环，就是一个循环。这种循环之下很难断定是谁更好、谁更差，所以这个时候用Borda Count，所谓的Borda Count这种选法，刚好大家的得分是一模一样。用其他方式的话就会有一个不对称性，用这种直接的方法去数分数的话，刚好完美的把对称性考虑进去了，所以用Borda Count这种方法打分的方式，是一个相对比较完美的选举方式。当然，这是作为一个选举方法它出问题的概率来说。
再讲一下Condorcet这个人，这是个法国人，这也是个法国人，这两个法国人是同期的，两个都是法国科学院的院士，这两个人各自有自己的选举方法，两个人一直在院士大会里面经常去争吵哪个方法更好，但是那个年代刚好是法国大革命，法国大革命时期Condorcet这个人比较惨，他才开始是一个革命派，以后又变成一个保皇派，大革命胜利以后他逃亡，逃到一个山里面很长时间没吃的。
饿的非常厉害，就跑到一个餐馆，跑到餐馆去，人家问他要吃什么，问他是干什么的，他说他是一个木匠，问他要吃什么，他说他要吃十二个煎鸡蛋，他好几天没吃饭，要十二个煎鸡蛋，那个餐馆的人就开始对他有点怀疑，看他那个手，说你那手看上去不像木匠，另外说木匠不会要十二个煎鸡蛋，然后告诉了警察，就把他抓起来了，抓起来以后他就死在监狱里面。死在监狱里面以后，到最后连尸体都没有找到。他是一个非常伟大的数学家，他居然连尸体都找不到，这是Condorcet。历史上很多故事是关于选举的，今天没有时间去讲这些历史上非常有趣的东西。这个人是个非常有趣的人，他们两个人经常争吵哪个选举方法更好。
我刚才说Borda的这个选举方法，从概率上讲它是出问题最小的一个方法。但是现在有一个问题，当初跟Condorcet他们在争论的时候争论到一个问题，这个问题是什么呢？叫做策略性的投票，这个策略性的投票是什么呢？我刚才说了，你给第一名打最高的分数，第二名降一分，再一名降一分，这个在理论上是非常好的一个方法，它能避免很多问题，但是在实际操作的时候突然发现，在法国科学院投票的时候就发现这个问题，发现这个问题是什么问题呢？
我喜欢A，我给A打满分，但是有可能B非常强，是A的竞争对手，这个时候这些人故意的压低，本来A是最好，他认为A最好，B第二，但是他为了怕B跟A去抢票，所以他恶意的去把B的分数降到最低，给他0分，这是非常有趣的一个问题，在投票理论里面。
投票理论不仅要考虑从数学上的完善，也要考虑在实用上的完善。在实用的过程中你会发现，假如你用Borda这种方式投票打分的话，你会发现有很多人不按照这个规则去打分，他故意不按照他自己的想法去投票，而是恶意的去压低竞争对手的分数，所以在实用过程中就发现了这个问题。
当初Condorcet和Borda在争论的时候，到最后Borda也没有办法，他就说我的方法只对诚实的人有用，对不诚实的人是没有用的。但是整个这个世界在投票过程中都是恶意竞争，所以所有恶意的方法都会用出来，这是一个原因，为什么从数学上证明了Borda的方式是最好的方式，但是为什么没有经常性的使用，大家还是在用正常投一票、投两票的方式来决定，原因就是Borda的投票方式会被人滥用，被恶意的、策略性的投票。
这个是实际过程中，在各个国家政府、各个国家议院都会发生的一个现象，你只要允许他随意打分，都会有不少人去压低他的对手的分数。假如纯去打分的话，这个方法就避免了我们刚才说的Arrow定理提到的内在矛盾问题，但是它带来的其他问题比Arrow选举方法的问题还要多。
另外，最后谈谈排名。排名现在怎么做的呢？一般的排名。比如说一个大学我现在想排名，大家知道很多不同的排名方式，而且有时候他们都说排名是公正的、是公开的，他把指标的权重都把它公开。其实这里面的猫腻非常非常多，一个排名的方式往往是给各种指标，你可以把这个指标算成是一个人，比如说这个学校的师资力量算成是一个投票，这个学校的学生质量作为一个投票，把学校的就业情况作为一票，跟其他所有的办学相关的你都可以把它当成一票。
但是这个时候权重不一样，比如说你的科研质量算成十票，你的其他各种指标可以把它算成一票，比方说最后所有的排名方式就是基于加权平均得来的。其中加权平均还有一个地方，就是他的学校的声誉，声誉本身也是一个投票排名来的，那个也是很多人给这个学校打分得来的，这本身就是一个投票的部分。然后其他的排名都是用各种指标，这些指标作为一个因素，然后进行排名。然后指标的权重这是自己定的，所有的排名机构他们自己定权重，即使定了权重以后，里面还有很多东西、很多地方可以去调整。
所以基本上这个排名到最后，是把所有的权重加起来，然后大家进行一个选取。你假如跟排名的人好，或者我是上海交大的，比方说我做一个排名，或者我是浙江大学的，比方说我做一个排名，这两个学校都在做，那显然上海交大和浙大的排名名次高，这里面很多很多参数，你去调整一下，基本上让他名次往上高上去，根本是很容易的事，所以这是关于排名。各种排名的方式决定了这个排名的顺序，当然有些地方是公认的，有些不是公认的，有些地方有很多的操作在里面。
另外南科大是个新型的学校，我经常参加南科大的招生，我就遇到了一个情况，比方说某一个考生，他的高考分数达到了北航，但是没达到北航的计算机系，这是一个真实的考生，我跟他谈过。他想学的是计算机，但是他达不到北航的计算机系，但是他是北京人，又想留在北京，然后我说你到南科大，南科大的专业是自己选，你愿意到哪个系就到哪个系。但是他到最后还是说去北航，南科大没有参加这种排名，他说北航的排名比较高，到最后他宁愿去北航读一个自己非常不喜欢的专业，就是为了排名。
所以这就是一个例子，排名对社会产生非常负面的影响。还有小孩读书，读书跟排名其实没有什么关系，你希望找到的是一个适合你的学校，你想读的方向有好的导师、有好的实验室，那就够了。其他的一些方向，比如说北京大学文科很好，它的排名很高，但是跟你要学的东西没有任何关系，你为什么要去北大？整个让你觉得是莫名其妙。我一直在说我报考大学的时候，我第一志愿是南京大学天文系，第二志愿是清华大学，我到南大去说，当时我想假如进不了南大，实在要去清华也还算凑合，不算太糟糕。
我到美国去留学也是，我找的学校是我感兴趣的，这个导师跟我的兴趣相一致，这个我觉得才是选择学校的一个正确方式，就是说这个学校对你是不是合适，每个学校有每个学校的特色。但是现在我们整个社会对排名看的太重，我那个时候写一个文章，原因就是觉得大家应该真正的，从所谓的这种排名指标上能看出来，不要拘泥于这些表面的统计数据，因为那个统计数据没有任何实质性的东西，你要看真正你喜欢什么，这个学校有没有什么特色。这是我想说的。
最后讲一个，大家这几天都在感兴趣足球，这是一个比较实际的足球上的例子，跟排名、跟投票有关的例子。当初2003年的时候，那个时候中国有甲A，甲A每年要淘汰一些球队，每年其他的要晋升上来，要保住甲A的位置当然对各个足球队非常重要。那个时候中国足协有一个规定，怎么排名呢？上年度的排名乘以0.5，加上本年度排名，最后作为最终排名。
这个大家想想挺有道理的，一用起来你会发现一个问题，这个问题在哪里呢？最后一轮比赛，重庆跟天津争夺最后一个中超的名额，这个时候重庆突然发现本年度的排名已经定下来了，我无论胜还是败，我的名次已经决定，最后一轮假如输给青岛的话，就有机会让青岛超过天津，自己可以成功的晋级。重庆一上来就输了三个球，就是故意的输了三个球。也就是说他故意的把球输给了青岛，青岛就有机会打败天津，然后他就可以晋级。这个时候他一输以后，足协就开始发现这个问题了，他故意输球，而且很有可能他输球了以后会晋级，这一点就很惨。
这个时候，足协到最后为了确保这个事情不发生，足协就做工作，确保要让天津战胜上海，他就要去劝，上海本来是要拿冠军的，而且打天津本来是没有问题的。但是假如上海真的把天津打败的话，天津就会下去，结果重庆输了球反而有好处的情况就会发生，到最后足协只好劝上海不要拿冠军，这样就把重庆给压下去，所有这些东西都违反了体育精神，但是足协到最后做工作，让上海顾全大局，最后把球输给了天津。所以你可以看到排名非常荒唐的一幕，这是一个非常实实在在的例子。
我从新闻里面把它拿下来的，大家可能认为，新闻上认为是足协太笨，其实不是足协太笨，就是因为我们刚才说的Arrow定理，以任何方式来排名，它都会有自相矛盾，都会出现这一类型的情况，所以这个事不能怪足协，只能怪我们没有一个完美的选举方法。今天讲到这里，谢谢大家。
🔽点击查看往期内容
想要和更多志同道合的人一同讨论科普问题，获得墨子沙龙小秘书贴心服务，及时获取各类科普活动通知吗？扫码加墨子沙龙小秘书，拉你入墨子沙龙超大群。
墨子沙龙是由中国科学技术大学上海研究院主办、上海市浦东新区科学技术协会及中国科大新创校友基金会协办的公益性大型科普论坛。沙龙的科普对象为对科学有浓厚兴趣、热爱科普的普通民众，力图打造具有中学生学力便可以了解当下全球最尖端科学资讯的科普讲坛。
关于“墨子沙龙”